Question

如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

(1)求证：AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B－AC－E的大小；

(3)求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE．

　　∵二面角D－AB－E为直二面角且CB⊥AB，

　　∴CB⊥平面ABE．∴CB⊥AE．

　　∴AE⊥平面BCE．

　　(2)解：以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz．

　　∵AE⊥面BCE，BE面BCE，

　　∴AE⊥BE．

　　在Rt△AEB中，AB＝2，O为AB的中点，OE＝1，

　　∴A(0，－1，0)，E(1，0，0)，C(0，1，2)，

　　＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，

　　设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

　　则令z＝1，

　　则n＝(1，－1，1)是平面AEC的一个法向量．

　　又平面BAC的一个法向量为m＝(1，0，0)．

　　∴cos〈m，n〉＝．

　　∴二面角B－AC－E的大小为arccos．

　　(3)解：∵D(0，－1，2)，∴＝(0，0，2)．

　　∴点D到平面ACE的距离

　　d＝|||cos〈，n〉|＝．

提示：

本题考查了线面垂直的判定、二面角的求法以及点面距的求法．求点到平面的距离时，可以用常规法(作－证－求)，也可以用向量法．用向量法求值可以有效地避免添加辅助线的麻烦．