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    向量
    a
    ，
    b
    满足|
    a
    |=|
    b
    |=1，|k
    a
    +
    b
    |=
    		3
    |
    a
    -k
    b
    |，（k＞0）．
    （1）求
    a
    •
    b
    关于k的解析式f（k）；
    （2）请你分别探讨
    a
    ⊥
    b
    和
    a
    ∥
    b
    的可能性，若不可能，请说明理由，若可能，求出k的值；
    （3）求
    a
    与
    b
    夹角的最大值．
    分析：（1）对已知式子平方化简可得
    a
    •
    b
    ，即得f（k）；（2）由于
    a
    •
    b
    =
    k2+1
    4k
    ＞0，故
    a
    与
    b
    不可能垂直．若
    a
    ∥
    b
    ，只可能同向，可得
    a
    •
    b
    =
    k2+1
    4k
    =1，解此方程可得；（3）代入夹角公式可得cosθ=
    a
    •
    b
    |
    a
    ||
    b
    |
    =
    1
    4
    (k+
    1
    k
    )    ，由基本不等式可得其最值，由夹角的范围结合余弦函数的单调性可得．
    解答：解：（1）由已知有|k
    a
    +
    b
    |2=（
    		3
    |
    a
    -k
    b
    |）2，
    又∵|
    a
    |=|
    b
    |=1，则可得
    a
    •
    b
    =
    k2+1
    4k
    （k＞0）
    即f（k）=
    k2+1
    4k
    （k＞0）…（4分）
    （2）∵k＞0，
    a
    •
    b
    =
    k2+1
    4k
    ＞0，故
    a
    与
    b
    不可能垂直．
    若
    a
    ∥
    b
    ，又
    a
    •
    b
    ＞0，则
    a
    与
    b
    只可能同向，
    故有
    a
    •
    b
    =
    k2+1
    4k
    =1，即k2-4k+1=0，
    又k＞0，故k=2±
    		3
    ，
    ∴当k=2±
    		3
    时，
    a
    ∥
    b
    …（8分）
    （3）设
    a
    ，
    b
    的夹角为θ，则
    cosθ=
    a
    •
    b
    |
    a
    ||
    b
    |
    =
    a
    •
    b
    =
    k2+1
    4k
    =
    1
    4
    (k+
    1
    k
    )    ≥
    1
    4
    ×2
    		k•
    1
    k
    =
    1
    2
    ，
    当且仅当k=
    1
    k
    ，（k＞0）即k=1时，取等号，即（cosθ）min=
    1
    2
    ，
    又0≤θ≤π，故θ的最大值为
    π
    3
    ．…（12分）
    点评：本题考查平面向量的数量积，涉及向量的共线与垂直以及基本不等式的应用，属中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题中正确的有（　　）
    ①若向量a与b满足a•b＜0，则a与b所成角为钝角；
    ②若向量a与b不共线，m=λ1•a+λ2•b，n=μ1•a+μ2•b，（λ1，λ2μ1，μ2∈R），则m∥n的充要条件是λ1•μ2-λ2•μ1=0；
    ③若
    OA 
    +
    OB
    +
    OC 
    =0    ，且|
    OA 
    |=|
    OB
    |=|
    OC 
    |    ，则△ABC是等边三角形；
    ④若a与b非零向量，a⊥b，则|a+b|=|a-b|．
    A、②③④B、①②③C、①④D、②

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    ，
    b
    满足|
    a
    |=1，|
    b
    |=2，且
    a
    与
    b
    方向上的投影与
    b
    在
    a
    方向上的投影相等，则|
    a
    -
    b
    |等于（　　）
    A、3
    B、
    		5
    C、
    		3
    D、1

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知平面向量
    a
    ，
    b
    满足
    |a|
    =3，
    |b|
    =3，
    |b|
    =2，
    a
    与
    b
    的夹角为60°，若(
    a
    -m
    b
    )⊥
    a
    ，则实数m的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    非零向量
    a
    与
    b
    满足|
    a
    +
    b
    |    =|
    b
    |    ，则（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列有六个命题：
    （1）y=tanx在定义域上单调递增
    （2）若向量
    a
    ∥
    b
    ，
    b
    ∥
    c
    ，则可知
    a
    ∥
    c

    （3）函数y=4cos(2x+
    π
    6
    )    的一个对称点为(
    π
    6
    ，0)
    （4）非零向量
    a
    、
    b
    满足|
    a
    +
    b
    |=|
    a
    -
    b
    |    ，则可知
    a
    •
    b
    =0
    （5）tan(2x+
    π
    3
    )≥
    		3
    的解集为[
    1
    2
    kπ，
    1
    2
    kπ+
    π
    3
    )(k∈z)
    其中真命题的序号为
    （3）（4）
    （3）（4）
    ．

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