Question

13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=$\frac{π}{6}$，a=bcosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m，n，∠PCM=x，且$\frac{π}{6}＜x＜\frac{π}{2}$，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC，再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值；
（Ⅱ）根据直角三角形中的边角关系，求出m、n，写出f（x）的解析式，利用三角函数求出f（x）的最大值以及对应的x的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，A=$\frac{π}{6}$，a=bcosC，
∴sinA=sinBcosC，
即sin（B+C）=sinBcosC，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，
∴cosBsinC=0；
又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，
∴B=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC的外角∠ACD=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，PC=2，
且PM⊥CA，PN⊥CD，PM=m，PN=n，∠PCM=x，$\frac{π}{6}＜x＜\frac{π}{2}$；
∴m=2sinx，n=2sin（$\frac{2π}{3}$-x），
∴f（x）=mn
=4sinxsin（$\frac{2π}{3}$-x）
=4sinx（sin$\frac{2π}{3}$cosx-cos$\frac{2π}{3}$sinx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+（1-cos2x）
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
∵$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜2x＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）≤2+1=3，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值3．

点评 本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．