Question

已知x=

2

是函数f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，       x≤0

的极值点．
（1）当b≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x＞0时，f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．由f′(

2

)=0，解得a=1．由此能够得到当b≠0时，函数f（x）的单调性．
（2）当x∈（0，

2

）时，f（x）单调递减，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0），当x∈(

2

，+∞)时，f（x）单调递增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）当x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x
=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′(

2

)=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，解得a=1．…（3分）
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f′（x）=（x²-2）e^x．
当x∈（0，

2

）时，f′（x）＜0，当x∈（

2

，+∞）时，f′（x）＞0．又f（0）=0，
所以当b＜0时，f（x）在（-∞，

2

）上单调递减，（

2

，+∞）单调递增；
当b＞0时，f（x）在（-∞，0），（

2

，+∞）上单调递增，在（0，

2

）上单调递减． …（7分）
（2）由（1）知，当x∈（0，

2

）时，f（x）单调递减，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0），
当x∈(

2

，+∞)时，f（x）单调递增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．…（9分）
要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或m=（2-

2

）e

2

；
②当b=0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）；
 ③当b＜0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．…（13分）

点评：本题考查函数单调性的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．