Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2，
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P-ACE的体积V。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°， ∴BC=，AC=2， 取PC中点F，连AF，EF， ∵PA=AC=2， ∴PC⊥AF， ∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD， ∴PA⊥CD， 又∠ACD=90°，即CD⊥AC， ∴CD⊥平面PAC， ∴CD⊥PC， ∴EF⊥PC， ∴PC⊥平面AEF， ∴PC⊥AE； （2）取AD中点M，连EM，CM， 则EM∥PA， ∵EM平面PAB，PA平面PAB， ∴EM∥平面PAB， 在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2， ∴∠ACM=60°，而∠BAC=60°， ∴MC∥AB， ∵MC平面PAB，AB平面PAB， ∴MC∥平面PAB， ∵EM∩MC=M， ∴平面EMC∥平面PAB， ∵EC平面EMC， ∴EC∥平面PAB。 (3)由(1)知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC， 在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°， ∴CD=2，得EF=， 则V=。