Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA＝45°，点E，F分别为棱AB，PD的中点．

(Ⅰ)在现有图形中，找出与AF平行的平面，并给出证明；

(Ⅱ)判断平面PCE与平面PCD是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)平面与平行　　1分 　　取中点，连，因为是中点，所以，在正方形中，，所以，所以为平行四边形，所以，所以平面　　6分 　　(Ⅱ)由平面，所以面，又面，所以，由(I)知，易证 　　所以面，又面，所以，面PCD面PEC　　12分 　　(也可用空间向量法) 　　以A为原点AB为X轴、AD为Y轴、AP为Z轴，建立空间坐标系　　1分 　　易求A(0，0，0)，F(0，1，1)，G(1，1，1)，E(1，0，0)， 　　P(0，0，2)，D(0，2，0)，C(2，2，0)　　3分 　　，所以AF∥面PEG　　6分 　　设面PCD的法向量为＝(x，y，z)，由D得x＝0，y＝z． 　　令　　8分 　　设面PEC的法向量为， 　　由得，可令　　10分 　　因为，所以，面PCD面PEC　　12分