Question

已知函数f（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（x）=log₂h（x），判断函数h（x）在（0，1）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）令

1+x＞0 1-x＞0

，求得函数的定义域关于原点对称，再根据f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
（2）由于f（x）=log₂（1-x²）=log₂h（x），可得h（x）=1-x²．再利用函数的单调性的定义证明函数h（x）在（0，1）上的单调性．

解答：解：（1）令

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，可得函数的定义域为（-1，1），关于原点对称．
再根据f（-x）=）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=）=log₂（1+x）+log₂（1-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
 （2）由于f（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）=log₂（1+x）（1-x）=log₂（1-x²），且f（x）=log₂h（x），
故有 h（x）=1-x²．
设0＜x₁＜x₂＜1，则h（x₁）-h（x₂）=（1-x12）-（1-x22）=x22-x12=（x₂+x₁）（x₂-x₁），
而由题设可得 （x₂+x₁）＞0，（x₂-x₁）＞0，∴h（x₁）＞h（x₂），
故函数h（x）在（0，1）上是减函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，求函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．