Question

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知f（1）=b-c=-3-c可求得b=-3，再由f′（1）=0，得a=12；
（2）由f′（x）=48x³lnx＞0，可求得f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，此极小值也是最小值，由-3-c≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9（x＞0）恒成立即可求得c的范围．

解答：解：（1）由题意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3．
又对f（x）求导得f′（x）=4ax³lnx+ax⁴=x³（4alnx+a+4b）．
由题意f′（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f′（x）=48x³lnx（x＞0），令f′（x）＞0，解得x＞1．
因此f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，此极小值也是最小值，
要使f（x）≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9（x＞0）恒成立，
即-3-c≥-（c-1）⁴+（c-1）²-c+9（x＞0）恒成立，
令t=（c-1）²（t≥0），则t≥4或t≤-3（舍）．
∴（c-1）²≥4，
解得c∈（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查综合分析、运算能力，属于难题．