Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＜0，若存在正整数m（m≥3），使得a_m=S_m，则当n＞m（n∈N^*）时（　　）

• A、S_n＞a_n
• B、S_n≥a_n
• C、S_n＜a_n
• D、S_n≤a_n

Answer 1

分析：本题考查的知识点是等差数列的前n项和，及等差数列的性质，由等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＜0，及存在正整数m（m≥3），使得a_m=S_m，我们可以构造一个方程组，判断出基本项（首项与公差）的关系，然后代入n＞m，利用作差法即可判断出S_n与a_n的关系．

解答：解：∵a_m=S_m，a1+(m-1)d=ma1+

m(m-1)

2

d，
∴（2m-2）a₁=（m-1）（2-m）d
∴a1=(1-

m

2

)d，
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=n(1-

m

2

)d+

n(n-1)

2

d=

nd

2

(1-m+n)，
又an=a1+(n-1)d=(n-

m

2

)d，
∴an-Sn=

d

2

(m-n)(n-1)
又∵m≥3，m＜n，d＜0，
∴

d

2

(m-n)(n-1)＞0，
故a_n＞S_n．

点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．