Question

已知函数f（x）=-log_ax-2（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（2）；
（Ⅱ）求解关于x的不等式f（）＞0；
（Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=2时，f（2）=-log₂2-2=1-1-2=-2                    
（Ⅱ）令，t∈（0，+∞）
f（）＞0等价于（log_at-2）（log_at+1）＞0
∴log_at＞2或log_at＜-1，
当a＞1时，t＞a²或
∴或
∴或；
当0＜a＜1时，t＜a²或
∴或
∴或             
（Ⅲ）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，对称轴为．
当a＞1时，v∈[log_a2，log_a4]
①当1＜a≤4，即时，f（v）在[log_a2，log_a4]上单调递增，
∴f_min（v）=f（log_a2）=
∴log_a2=3或log_a2=-2（不合题意）
∴
②当4＜a＜16，即时，；
③当a≥16，即时，f_min（v）=f（log_a4）=
∴log_a4=3或log_a4=-2（不合题意）
当0＜a＜1时，v∈[log_a4，log_a2]，显然，
∴f_min（v）=f（log_a2）=
∴log_a2=-2或log_a2=3（不合题意）
∴
综上：或                   

分析：（I）当a=2时，直接代入计算，可求f（2）；
（II）令，t∈（0，+∞），f（）＞0等价于（log_at-2）（log_at+1）＞0，分类讨论，可得结论；
（III）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，对称轴为．对a讨论，结合函数f（x）在[2，4]的最小值为4，即可求实数a的值．
点评：本题考查复合函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．