Question

8．如图，C是圆O的直径AB上一点，CD⊥AB，与圆O相交于点D，与弦AF交于点E，与BF的延长线相交于点G．GT与圆相切于点T．
（I）证明：CD²=CE•CG；
（Ⅱ）若AC=CO=1，CD=3CE，求GT．

Answer 1

分析 （I）延长DC与圆O交于点M，利用相交弦定理，三角形相似的性质，即可证明：CD²=CE•CG；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得CG=3CD，利用切割线定理求GT．

解答 （Ⅰ）证明：延长DC与圆O交于点M，
因为CD⊥AB，
所以CD²=CD•CM=AC•BC，
因为Rt△ACE∽Rt△GBC，所以$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CG}{BC}$，
即AC•BC=CE•CG，故CD²=CE•CG．…（5分）
（Ⅱ）解：因为AC=CO=1，所以CD²=AC•BC=3，
又CD=3CE，由（Ⅰ）得CG=3CD，
GT²=GM•GD=（CG+CM）•（CG-CD）=（CG+CD）•（CG-CD）
=CG²-CD²=8CD²=24，故GT=2$\sqrt{6}$．…（10分）

点评 本题考查相交弦定理，三角形相似的性质，考查切割线定理，考查相似分析解决问题的能力，属于中档题．