Question

已知二次函数f（x）的图象过点（0，3），对称轴为x=2，且f（x）=0的两个根的平方和为10，求
（1）f（x）的解析式．
（2）f（x）在[t，3]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法设出二次函数的解析式，利用题中的已知条件列出方程组，求出系数的值，从而得到函数的解析式；
（2）根据对称轴为x=2与区间[t，3]的位置关系，分两种情况讨论，再根据二次函数的单调性分别求出f（x）的最小值，从而得到答案．

解答：（1）解：设二次函数为f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由题意知，c=3，-

b

2a

=2．
设x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，则x12+x22=(x1 +x2 )2-2x1x2，
又根据根与系数的关系可得，x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，
∴(-

b

a

)2-

2c

a

=10
∴16-

6

a

=10
∴a=1，b=-4．
∴f（x）=x²-4x+3．
（2）对称轴为x=2，
当t＜2时，f（x）在[t，2]上是减函数，f（x）在[2，3]上是增函数，
∴f（x）_min=f（2）=-1，
当2≤t＜3时，f（x）在[t，3]上是增函数，
∴f（x）_min=f（t）=t²-4t+3．
综上所述，f（x）在[t，3]上的最小值为f(x)min=

-1 t2-4t+3

t＜2 2≤t＜3

．

点评：本题主要考查了二次函数求解析式问题，同时考查了二次函数在动区间上的最值问题．二次函数求解析式的关键是要根据条件判断是使用一般式、顶点式还是两根式．二次函数的最值问题主要抓住对称轴与区间的位置关系进行求解．属于中档题．