Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是右准线上一点，若PF₁⊥PF₂，P到x轴的距离为

2ab

c

（c为半焦距长），则双曲线的离心率e=（　　）

• A．

  2

• B．2
• C．

  3

• D．3

Answer 1

分析：设右准线与x轴的交点为A，根据PF₁⊥PF₂，利用射影定理可得|PA|²=|AF₁|×|AF₂|，利用P到x轴的距离为

2ab

c

可建立方程，从而求出双曲线的离心率．

解答：解：∵P是右准线上一点，P到x轴的距离为

2ab

c

∴可设P(

a2

c

，

2ab

c

)
设右准线与x轴的交点为A，
∵PF₁⊥PF₂，
∴|PA|²=|AF₁|×|AF₂|
∴(

2ab

c

)2=(c+

a2

c

)(c-

a2

c

)
∴4a²b²=（c²-a²）（c²+a²）
∴4a²=c²+a²
∴3a²=c²
∴e=

c

a

=

3

故选C．

点评：本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的离心率，解题的关键是利用射影定理得|PA|²=|AF₁|×|AF₂|．