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    自然状态下的鱼类是一种可再生的资源.为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a、b、c.

    (1)求xn+1与xn的关系式.

    (2)猜测:当且仅当x1、a、b、c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

    (3)设a=2,c=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn＞0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.

    解：(1)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为cxn2,因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2,n∈N*,                     (*)

        即xn+1=xn(a-b+1-cxn),n∈N*.               (**)

    (2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,n∈N*.

        从而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0,n∈N*.所以a-b-cx1=0,即x1=.

        因为x1＞0,所以a＞b.

        猜测:当且仅当a＞b,且x1=时,每年年初鱼群的总量保持不变.

    (3)若b的值使得xn＞0,n∈N*,

        由xn+1=xn(3-b-xn),n∈N*,

        知0＜xn＜3-b,n∈N*.

        特别地,有0＜x1＜3-b,即0＜b＜3-x1.

        而x1∈(0,2),所以b∈(0,1].

        由此猜测b的最大允许值是1.

        证明如下:当x1∈(0,2),b=1时,都有xn∈(0,2),n∈N*.

    ①当n=1时,结论显然成立.

    ②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0,2),

        则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk)＞0.

        又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1＜2,

        所以xk+1∈(0,2).

        故当n=k+1时结论也成立.

        由①②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).

        综上所述,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn＞0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.

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    （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
    （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
    （Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
    最大允许值是多少？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年初的总量，n∈N*，且x1＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正数a，b，c其中b称为捕捞强度．
    （1）求xn+1与xn的关系式；
    （2）设a=2，c=1，为了保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度B的最大允许值是多少？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （05年湖南卷理）（14分）

    　　    自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

       （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

       （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

    要求证明）

    　 （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的

             最大允许值是多少？证明你的结论.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    自然状态下的鱼类是一种可再生的资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*且x1＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a、b、c.

    (1)求x n+1与xn的关系式.

    (2)猜测:当且仅当x1、a、b、c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

    (3)设a=2,c=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn＞0,n∈N *,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年重庆市高三上学期第四次测试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

    （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

    （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

    （Ⅲ）设a＝2，b>0，c=1为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

     

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