Question

已知函数f（x）=|2x-1|+k|x+1|．
（1）当k=-1时，把f（x）写成分段函数，并画出f（x）的图象；
（2）若f(

1

2

)是函数f（x）的最小值，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=|2x-1|+k|x+1|，k=-1，知f（x）=|2x-1|-|x+1|，由此能把f（x）写成分段函数，并画出f（x）的图象．
（2）由f（x）=|2x-1|+k|x+1|，f(

1

2

)是函数f（x）的最小值，能求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=|2x-1|+k|x+1|，k=-1，
∴f（x）=|2x-1|-|x+1|，
由2x-1=0，得x=

1

2

；由x+1=0，得x=-1．
当x≥

1

2

时，f（x）=2x-1-x-1=x-2；
当-1≤x＜

1

2

时，f（x）=1-2x-x-1=-3x；
当x＜-1时，f（x）=1-2x+x+1=2-x．
∴f（x）=

x-2，x≥ 1 2 -3x，-1＜x＜ 1 2 2-x，x≤-1

．
利用描点法作出图象如下：

（2）∵f（x）=|2x-1|+k|x+1|，
由2x-1=0，得x=

1

2

；由x+1=0，得x=-1．
当x≥

1

2

时，f（x）=2x-1+kx+k=（k+2）x-1+k；
当-1≤x＜

1

2

时，f（x）=1-2x+kx+k=（k-2）x+k+1；
当x＜-1时，f（x）=1-2x-kx-k=-（k+2）x+1-k．
∴f(x)=

(k+2)x-1+k(x≥ 1 2 ) (k-2)x+k+1(-1＜x＜ 1 2 ) -(k+2)x+1-k(x≤-1)

，
∵f(

1

2

)是函数f（x）的最小值，
∴

k+2≥0 k-2≤0

，解得-2≤k≤2．
故k的取值范围是[-2，2]．

点评：本题考查分段函数的求法，考查分段函数的图象的作法．解题时要认真审题，注意描点法的合理运用．