Question

已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l₁:x+y+1=0,l₂:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.

Answer 1

直线l的方程为x=3或y=1.

解析:

方法一  若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=3,此时与l₁,l₂的交点分别是

A（3，-4），B（3，-9），

截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.                                                                                          4分

若直线l的斜率存在时，

则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,

分别与直线l₁,l₂的方程联立，

由,

解得A.                                                                                                                              8分

由,解得B,

由两点间的距离公式，得

+=25，

解得k=0,即所求直线方程为y=1.                                                                                                  10分

综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.                                                                                      12分

方法二  设直线l与l₁,l₂分别相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁+y₁+1=0,x₂+y₂+6=0,

两式相减，得(x₁-x₂)+(y₁-y₂)=5                                             ①                                                        6分

又(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=25                                                               ②

联立①②可得或,                                                                                              10分

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，

故所求的直线方程为x=3或y=1.                                                                                                  12分