Question

设数列a₁=f（a），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），f（x）=2x（1-x），0＜a＜1．则下列不等式成立的是（　　）

• A、a_n≤a_n+1＜0
• B、0＜a_n≤a_n+1
• C、a_n+1≤a_n＜0
• D、0＜a_n+1≤a_n

Answer 1

分析：利用二次函数性质得出x∈（0，1）时，f（x）=2x（1-x）∈（0，

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2

]，确定a₁=f（a）∈（0，

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2

]，再利用f（x）=2x（1-x）∈（0，

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2

]，x∈（0，

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2

]，得出a_n＞0．对于a_n与a_n+1大小比较，相当于自变量与函数值大小比较，可以考察函数h（x）=x-f（x）=-x+2x²在x∈（0，

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2

]上的正负情形判断．

解答：解：对于f（x）=2x（1-x），在x∈（0，1）时，f（x）∈（0，

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2

]，
又∵0＜a＜1，∴a₁=f（a）∈（0，

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]，
又f（x）=2x（1-x）∈（0，

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]，x∈（0，

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]，
∴a₂=f（a₁）∈（0，

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]，依此类推，a_n+1=f（a_n）∈（0，

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2

]，
∴a_n＞0．
由于函数h（x）=x-f（x）=-x+2x²≤0，x∈（0，

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2

]，
∴x≤f（x），x∈（0，

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]，
而a_n=∈（0，

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]，
∴a_n≤f（a_n）
即a_n≤a_n+1．
故选：B．

点评：本题考查二次函数性质的应用，考察构造，推理，计算能力．