Question

设数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n=(a_n-1+2a_n-2)(n=3,4,…).数列{b_n}满足b₁=1,b_n(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤b_m+b_m+1+…+b_m+k≤1.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式;

(2)记c_n=na_nb_n(n=1,2,…),求数列{c_n}的前n项和S_n.

Answer 1

解:(1)由a_n=(a_n-1-a_n-2)，

有a_n-a_n-1=(a_n-1-a_n-2)(n=3,4…,).

可得a_n-a_n-1=(a_n-1-a_n-2)=[(a_n-2-a_n-3)]

         =()²(a_n-2-a_n-3)

         =……

         =()^n-2(a₂-a₁)=()^n-2(n=3,4…,).

于是有a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+…+(a₂-a₁)+a₁

        =()^n-2+()^n-3+…+()⁰+1

        =+1=[8-3·()^n-1].

由题设b≠0，且对任意m∈Z₊，有-1≤b_m≤1b_m=1或b_m=-1.

∵b₁=1，由题设有-1≤b₁+b₂≤1-2≤b₂≤0，

∴b₂=-1.

同理，由题设有-1≤b₂+b₃≤10≤b₃≤2，

∴b₃=1.

下面用反证法证明b_n=（-1）^n-1，

由题设可知|b_n|=1，-1≤b_m+…+b_m=k≤1

假设{b_n}存在相邻两项b_m，b_m=1的符号相同，

则有|b_m+b_m=1|=2|b_m|=2，这与-1≤b_m+…+b_m=k≤1矛盾！

故{b_n}的任意相邻两项b_m，b_m=1的符号都相反.

故b_n=（-1）^n-1

(2)若c_n=na_nb_n，则c_n=na_nb_n=[8n(-1)^n-1-3n()^n-1]

                  =n(-1)^n-1-n()^n-1

设d_n=n(-1)^n-1=nq₁^n-1，e_n=n()^n-1=nq₂^n-1.

对于数列{nq^n-1}(q≠1)，其前n项和T_n=1+2q+3q²+…+nq^n-1，

T_n-qT_n=1+q+…+q^n-1-nqⁿ=-nqⁿT_n=(-nqⁿ).

所以{d_n}前n项和为D_n=[-n(-1)ⁿ]

                    =[1-(2n+1)(-1)ⁿ]，

{e_n}前n项和为E_n=[-n()ⁿ]

                =[3-(n+3)()ⁿ]，

故{c_n}前n项和为S_n=[1-(2n+1)(-1)ⁿ]-[3-(n+3)()ⁿ]

                  =[9(n+3)()ⁿ+2(2n+1)(-1)ⁿ⁺¹-25].