Question

在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南(cos＝)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受影响达多少小时？

Answer 1

答案：
解析：

解：如图，设在t小时后台风中心在Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km)． 　　若在此刻城市O受到台风的影响，则OQ≤10t＋60． 　　由余弦定理知OQ2＝PQ2＋PO2－2PQ\5POcos∠OPQ． 　　由PO＝300，PQ＝20t， 　　cos∠OPQ＝cos(－45°)＝coscos45°＋sinsin45° 　　＝×＋×＝， 　　∴OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×＝202t2－9 600t＋3002． 　　∴202t2－9 600t＋3002≤(10t＋60)2． 　　整理，得t2－36t＋288≤0．解得12≤t≤24． 　　∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受影响达12小时． 　　思路分析：设t小时后台风中心在Q，此时城市O受到台风影响，即此时O在台风侵袭的圆形区域内，注意台风在行进过程中，其半径在不断地增大，连结OQ，把问题放到△OPQ中，利用正弦、余弦定理解三角形即可．

提示：

本题关键是从示意图中抽象出三角形，建立数学模型，通过利用正弦、余弦定理解三角形，得到数学模型的解．