Question

已知函数f（log₄x）=log₄（x+1）+klog₄x（k∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，求实数k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g(x)=log4m-f(x)+

3

2

x在（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令t=log₄x，则有x=4^t，f（t）=log4(4t+1)+kt，由此可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），化简可得-log44x=2kx，即（ 2k+1）x=0，由此求得 k的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（x）=log4(4x+1)-

1

2

x，由题意可得log₄m=log4(4x+1)-2x=log4(

1

4x

+

1

42x

)．令

1

4x

=t，则 1＞t＞0，且log₄m=log4(t+t2)．由二次函数的性质可得 0＜t²+t＜2，由此可得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令t=log₄x，则有x=4^t，f（t）=log4(4t+1)+kt，故函数f（x）的解析式为 f（x）=log4(4x+1)+kx．
（Ⅱ）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x） log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，化简可得-log44x=2kx，
即（ 2k+1）x=0，∴k=-

1

2

．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f（x）=log4(4x+1)-

1

2

x，
函数g(x)=log4m-f(x)+

3

2

x=log₄m-log4(4x+1)+2x 在（0，+∞）上存在零点，
故有 log₄m=log4(4x+1)-2x=log4

4x+1

42x

=log4(

1

4x

+

1

42x

)．
令

1

4x

=t，则 1＞t＞0，log₄m=log4(t+t2)．
由二次函数的性质可得 0＜t²+t＜2，
∴0＜m＜2，故实数m的取值范围为（0，2）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质应用，函数的零点的定义、二次函数的性质，属于中档题．