Question

在数列{a_n}中，a₁=2，na_n+1=（n+1）a_n+2（n∈N^*），a₁₀等于

38

．

Answer 1

分析：在等式的两边同时除以n（n+1），得

an+1

n+1

=

an

n

+

2

n(n+1)

，然后利用累加法求数列的通项公式即可．

解答：解：因为na_n+1=（n+1）a_n+2（n∈N^*），所以在等式的两边同时除以n（n+1），得

an+1

n+1

=

an

n

+

2

n(n+1)

，
即

an+1

n+1

-

an

n

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
所以

a2

2

-

a1

1

=2(1-

1

2

)，

a3

3

-

a2

2

=2(

1

2

-

1

3

)…

a10

10

-

a9

9

=2(

1

9

-

1

10

)，
等式两边同时相加得，

a10

10

-

a1

1

=2(1-

1

10

)=2×

9

10

=

9

5

，
所以a10=10a1+10×

9

5

=20+18=38．
故答案为：38．

点评：本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用裂项法求数列的和，要使熟练掌握这些变形技巧．