Question

设函数f(x)=ax³+bx+c(a≠0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.

(1)求a、b、c的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在［-1,3］上的最大值和最小值.

Answer 1

解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c,c=0.∵f′(x)=3ax²+b的最小值为-12,

∴b=-12.又直线x-6y-7=0的斜率为,因此f′(1)=3a+b=-6.故a=2,b=-12,c=0.

(2)f(x)=2x³-12x.f′(x)=6x²-12=6(x+)(x-),列表如下:

x	(-∞,-)	-	(-,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞).

因为f(-1)=10,f(3)=18,f()=-8,所以当x=时,f(x)取得最小值为-8;

当x=3时,f(x)取得最大值为18.