Question

如图，边长为2的正方形A₁ACC₁绕直线CC₁旋转90°得到正方形B₁BCC₁，D为CC₁的中点，E为A₁B的中点，G为△ADB的重心．

(Ⅰ)求直线EG与直线BD所成的角；

(Ⅱ)求直线A₁B与平面ADB所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由已知，，且． 　　正方形绕直线旋转90°得到正方形， 　　所以． 　　以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 　　则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，A1(2，0，2)， 　　B1(0，2，2)．　　2分 　　因为D为CC1的中点，E为A1B的中点，G为△ADB的重心， 　　所以D(0，0，1)，E(1，1，1)，G(，，)， 　　所以， 　　所以，即EG与BD所成的角为．　　5分 　　(Ⅱ)由，所以． 　　再由，所以为平面ADB的法向量．因为向量，设与平面 　　ADB所成的角为，则．　　7分 　　，， 　　所以．所以与平面ADB所成的角的正弦值为