Question

8．设$\frac{2}{3}$＜a＜1，函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 求导f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），从而确定函数f（x）在[-1，0）上是增函数，在（0，a）上是减函数，在（a，1]上是增函数；从而可得f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，f（0）=b=1，从而求得．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，
∴f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0；
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0；
当x∈（a，1]时，f′（x）＞0；
∴f（x）在[-1，0）上是增函数，在（0，a）上是减函数，在（a，1]上是增函数；
而f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b，f（a）=a³-$\frac{3}{2}$a³+b，
f（a）-f（-1）=-$\frac{1}{2}$a³+$\frac{3}{2}$a+1，
令g（a）=-$\frac{1}{2}$a³+$\frac{3}{2}$a+1，则g′（a）=-$\frac{3}{2}$（a²-1）＞0，
故f（a）-f（-1）＞g（$\frac{2}{3}$）＞0，
故f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
同理可得，f（0）=b=1，
解得，a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=1；
故f（x）=x³-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x²+1．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了转化思想与整体思想的应用．