Question

已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为，求圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10． 　　由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a．① 　　联立直线与圆的方程，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0． 　　∴x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝(a2＋b2－10)． 　　由弦长公式，得 　　化简，得a－b＝±2．② 　　由①②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4． 　　∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10． 　　解法二：根据半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形， 　　由勾股定理可得弦心距d＝． 　　又∵弦心距等于圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离， 　　∴d＝． 　　又已知b＝2a， 　　∴可解得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4． 　　∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10．