Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-n，分别令n=1，n=2，n=3，代入到递推公式可求
（Ⅱ）由S_n=2a_n-n，可得S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2），两式相减得a_n=2a_n-1+1，则可得a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*）则数列{a_n+1}是等比数列，利用等比数列的通项公式可求
a_n+1，进而可求a_n
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为S_n=2a_n-n，
令n=1，可得a₁=S₁=2a₁-1
∴a₁=1…（3分）
令n=2，可得1+a₂=S₂=2a₂-2
∴a₂=3
令n=3，可得1+3+a₃=S₃=3a₃-3
∴a₃=7．…（6分）
（Ⅱ）因为S_n=2a_n-n，
所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2，n∈N^*）…（8分）
两式相减得a_n=2a_n-1+1，
所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*）…（10分）
又因为a₁+1=2，所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列
所以a_n+1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．…（12分）
点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是公式的应用．