Question

已知函数f（x）=x

1-2x

．
（1）求x₀，使f′（x₀）=0；
（2）求函数f（x）在区间[-1，

1

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），解方程f′（x₀）=0即可；
（2）利用导数求出函数的极值，在区间[-1，

1

2

]端点处的函数值，由此求得最大值、最小值，从而得到值域；

解答：解：（1）f′（x）=

1-2x

-

x

1-2x

=

1-3x

1-2x

，
所以f′（x₀）=

1-3x0

1-2x0

=0，则x0=

1

3

．
（2）当（-1，

1

3

）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈(

1

3

，

1

2

)时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；          
f（-1）=-

3

，f（

1

3

）=

3

9

，f（

1

2

）=0，
则函数f（x）在区间[-1，

1

2

]上的最大值为

3

9

，最小值为-

3

，
所以函数f（x）在区间[-1，

1

2

]的值域为[-

3

，

3

9

]．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数的单调性，属中档题．