Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°

(Ⅰ)求证：EF⊥平面BCE；

(Ⅱ)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)求二面角F―BD―A的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 　　 　　取BE的中点N，连接AN，MN，则MN∥＝∥＝PC 　　所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN 　　因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 　　所以PM∥平面BCE　　8分 　　(Ⅲ)由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 　　作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA．从而，FG⊥平面ABCD 　　作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 　　因此，∠AEF为二面角F－BD－A的平面角 　　因为FA＝FE，∠AEF＝45°， 　　所以∠AFE＝90°，∠FAG＝45°． 　　 　　解法二： 　　(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE， 　　所以AE⊥AB 　　又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE平面ABEF， 　　平面ABEF∩平面ABCD＝AB， 　　所以AE⊥平面ABCD． 　　所以AE⊥AD． 　　因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A－xyz． 　　设AB＝1，则AE＝1，B(0，1，0)，D(1，0，0)，E(0，0，1)，C(1，1，0)． 　　因为FA＝FE，∠AEF＝45°， 　　所以∠AFE＝90°． 　　 　　所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 　　故PMM∥平面BCE　　8分

提示：

本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力．