Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE＝x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．

(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；

(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D－BF－C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(法一)∵平面平面，AE⊥EF，∴AE⊥面平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E－xyz． 　　则A(0，0，2)，B(2，0，0)，G(2，2，0)，D(0，2，2)，E(0，0，0) 　　＝(－2，2，2)，(2，2，0) 　　(－2，2，2)·(2，2，0)＝0，∴ 　　(法二)作DH⊥EF于H，连BH，GH， 　　由平面平面知：DH⊥平面EBCF， 　　而EG平面EBCF，故EG⊥DH． 　　又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH， 　　BHDH＝H，故EG⊥平面DBH， 　　而BD平面DBH，∴EG⊥BD．　4分 　　(或者直接利用三垂线定理得出结果) 　　(2)∵AD∥面BFC， 　　所以VA－BFC＝＝ 　　，即时有最大值为．　8分 　　(3)(法一)设平面DBF的法向量为，∵AE＝2，B(2，0，0)，D(0，2，2)， 　　F(0，3，0)，∴， 　　则， 　　即， 　　取x＝3，则y＝2，z＝1，∴ 　　面BCF的一个法向量为 　　则cos＜＞＝ 　　由于所求二面角D－BF－C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－　12分 　　(法二)作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM． 　　由三垂线定理知BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D－BF－C的平面角的补角． 　　由△HMF∽△EBF，知，而HF＝1，BE＝2，，∴HM＝． 　　又DH＝2，∴在Rt△HMD中，tan∠DMH＝－， 　　因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝， 　　而∠DMH是二面角D－BF－C的平面角的补角， 　　故二面角D－BF－C的余弦值为－．