Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC边的中点，且

AD

•

BC

=

1

2

（a²-

3

ac），则角B=

 

．

Answer 1

分析：依题意画出图形，由点D为边BC的中点，根据向量的平行四边形法则，表示出

BC

和

AD

，即可得到

AC

•

BC

，又

AD

•

BC

=

1

2

（a²-

3

ac），两者相等得到a，b和c的关系式，然后利用余弦定理表示出cosB，把求出的关系式代入即可求出cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
根据图形及向量的平行四边形法则得到：

BC

=

AC

-

AB

，
由点D为边BC的中点，得到

AD

=

AB + AC

2

，
则

AD

•

BC

=

| AC |2-| AB |2

2

=

b2-c2

2

，而

AD

•

BC

=

1

2

（a²-

3

ac），
得到

b2-c2

2

=

1

2

（a²-

3

ac），即a²+c²-b²=

3

ac，
则cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 ac

2ac

=

3

2

，又B∈（0，180°），
所以B=30°．
故答案为30°

点评：此题考查学生掌握平面向量的平行四边形法则，灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．