Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角B-A₁C₁-B₁的正切值为

 

．

Answer 1

分析：以D₁为原点，D₁A₁为X轴，D₁C₁为Y轴，D₁D为Z轴，建立D₁-XYZ空间直角坐标系．求出平面角BA₁C₁与平面A₁C₁B₁的法向量，代入空间向量夹角公式，即可求出答案．

解答：解：用向量法解如下：
以D₁为原点，D₁A₁为X轴，D₁C₁为Y轴，D₁D为Z轴，建立D₁-XYZ空间直角坐标系．
设正方体的边长为1，易知平面A₁C₁B₁的一个法向量为（0，0，1），
又可知A₁（1，0，0），B（1，1，1），C₁（0，1，0）
则向量

A1B

=（0，1，1），向量

C1B

=（1，0，1）
再设平面BA₁C₁的一个法向量为（X，Y，Z），
可解得可为（1，1，-1）
由两法向量可得二面角B-A₁C₁-B₁的余弦值为

3

3

，
再由三角关系可得所求二面角B-A₁C₁-B₁的正切值是

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．