Question

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）求此几何体的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）由几何体的三视图，知该几何体上面是一个长方体，长方体的底面是边长为4的正方形，高是2，求出其表面积；下面是一个正四棱台，上底边长是4的正方形，下底是边长为8的正方形，根据勾股定理做出斜高，得到侧面积，得到正四棱台5个面的面积，最后求和得到结果．
（II）分别求出几何体的上、下两部分的体积后相加即得此几何体的体积．
解答：解：（I）由三视图知，几何体是一个组合体，
上面是一个长方体，长方体的底面是边长为4的正方形，高是2，
其表面积S_上=16+4×8=48；
下面是一个正四棱台，上底边长是4的正方形，下底是边长为8的正方形，高是2，
∴斜高是==，
∴正四棱台的侧面积是（4+8）××4=24．
下面是一个边长是8的正方形，其面积为64，
∴几何体的表面积是48+24+64=112+24（cm²）；
（II）V=V₁+V₂=4×4×2+（4²+8²+4×8）×3=144cm³．
点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，考查由三视图还原几何图形的直观图，本题是一个基础题，这种题目一般不会进行线面关系的证明，而只是用来求体积和面积．