Question

A、B是抛物线y²=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点).求证：

(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

(2)直线AB经过一个定点.

Answer 1

证明:(1)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则

y₁²=2px₁、y₂²=2px₂.

∵OA⊥OB,∴x₁x₂+y₁y₂=0,

y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²·(－y₁y₂).

∴y₁y₂=－4p²,从而x₁x₂=4p²也为定值.

(2)∵y₁²－y₂²=2p(x₁－x₂),

∴.

∴直线AB的方程为

y－y₁= (x－x₁),

即y=x－·+y₁,

y=x+,

亦即y= (x－2p).

∴直线AB经过定点(2p,0).

点评:本例的证明还可以设OA的方程为y=kx,OB的方程为y=－x.由OA的方程与抛物线的方程联立求得A点的坐标，再由OB的方程与抛物线的方程联立求得B点的坐标,利用A、B的坐标证明.