Question

 如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.

(1)求证：BE∥平面PDA；

(2)若平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°，则线段PD是线段AD的几倍？

Answer 1

解：(1)证明：∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA

∴EC∥平面PDA，

同理可得BC∥平面PDA.

∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC且EC∩BC＝C.

∴平面BEC∥平面PDA.

又∵BE⊂平面EBC，

∴BE∥平面PDA.5分

(2)法一：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与ABCD的交线.7分

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB.

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，

∴BG⊥面PDB，∴BG⊥PB，

∴∠PBD为平面ABE与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PBD＝45°，10分

∴PD＝DB＝AD，即＝.

∴当平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°时，线段PD是AD的倍.14分

(2)法二：如图，以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系．设该简单组合体的底面边长为1，设PD＝a，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)．

∴＝(1,1，－a)，＝(0,1，－)

设n＝(x，y，z)为平面PBE的一个法向量，则

.令z＝2，得y＝a，x＝a，即n＝(a，a,2).

显然＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，9分

∴cos45°＝＝，解得a＝，即＝.

∴当平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°时，线段PD是AD的倍.