Question

（2012•乐山二模）数列{a_n}满足a₁=1，a₂=

1

3

，并且a_n（a_n-1+a_n+1）2a_n+1a_n-1（n≥2），则数列的第2012项为（　　）

• A．2

  1

  2012

• B．2

  1

  2011

• C．

  1

  4023

• D．

  1

  4024

Answer 1

分析：利用递推关系式推出﹛

1

an

﹜为等差数列，然后求出结果．

解答：解：∵a_n（a_n-1+a_n+1）=2a_n+1a_n-1（n≥2），
∴a_na_n-1+a_n+1a_n=2a_n+1a_n-1，两边同除a_n+1a_n-1，
得

an

an+1

+

an

an-1

=2，
两边同时除以a_n，得到

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，
所以﹛

1

an

}为等差数列，
a₁=1，a₂=

1

3

，故an=

1

2n-1

，
所以a₂₀₁₂=

1

2×2012-1

=

1

4013

．
故选C．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力．