Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，AC=

2

．
（1）求直线B₁C与平面ABB₁A₁所成角的大小；
（2）求二面角A-B₁C-B的大小．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱性质可得，∠CB₁A为直线B₁C与平面ABB₁A₁所成的角，解直角三角形可求此角的大小．
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，过M做MN⊥B₁C，垂足为N，由三垂线定理可证∠ANM为二面角A-B₁C-B的平面角，解直角三角形可求此角的大小．

解答：解：（1）由直三棱柱性质，B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AC，
又BA⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴∠CB₁A为直线B₁C与平面ABB₁A₁所成的角．
由AB=BB₁=1，可得AB₁=

2

．
又AC=

2

，∴tanCB₁A=

AB

AB1

=1．
∴直线B₁C与平面ABB₁A₁所成角的大小为45°．（7分）
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，
过M做MN⊥B₁C，垂足为N，连接AN，
由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC₁B₁，
由三垂线定理，可知AN⊥B₁C，
∴∠ANM为二面角A-B₁C-B的平面角，
又AM=

AB•AC

BC

=

6

3

，AN=

AB1•AC

B1C

=1
∴sinANM=

AM

AN

=

6

3

∴二面角A-B₁C-B的大小为arcsin

6

3

（14分）

点评：本题考查线面角、二面角的求法．