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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知ABCD-A1B1C1D1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是（ ）
    A．1
    B．
    C．
    D．0
    【答案】分析：根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2011段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2011段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
    解答：解：由题意，白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
    即过6段后又回到起点，
    可以看作以6为周期，
    由2011÷6=335…1
    白蚂蚁爬完2011段后到回到A1点；
    同理，黑蚂蚁爬完2011段后回到B点，
    所以它们此时的距离为．
    故选B．
    点评：本题以一个创新例子为载体，考查归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于中档题目．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
    （1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；
    （2）求A1B和B1C所成的角．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，
    （1）求证：A1C⊥平面BDE；
    （2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
    （1）求证：A1B⊥平面AB1D；
    （2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，①(
    A1A
    +
    A1D1
    +
    A1B1
    )2=3(
    A1B1
    )2    ；②
    A1C
    •(
    A1B1
    -
    A1A
    )=0    ；③向量
    AD1
    与向量
    A1B
    的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|
    AB
    •
    AA1
    •
    AD
    |    ．其中正确的命题是
    ①②
    ①②
    （写出所有正确命题编号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．
    （Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；
    （Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．

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