Question

已知函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数且满足f（2）＜3，f（1）=2.

（1）求f（x）；

（2）说明f（x）在区间（-∞，-1]上的单调性.

Answer 1

思路解析：本题考查函数的奇偶性和单调性.

解：（1）f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数应满足f（-x）=-f（x）.

∵f（-x）==-f（x）

=-，

∴c=0，即f（x）=.

f（1）=2=a+1=2b，         ①

f（2）= ＜3.                         ②

将①式代入②式得-1＜a＜2，即a=0或a=1.当a=0时，b=Z，此种情况不合题意；

当a=1时，b=1∈Z，满足题意，所以f（x）=.

（2）f（x）==x+，任取x₁＜x₂≤-1，则f（x₂）-f（x₁）=（x₂+）-（x₁+）=（x₂-x₁）+ =（x₂-x₁）（1-）.

∵x₁＜x₂≤-1，∴（x₂-x₁）＞0，x₁x₂＞1，即（x₂-x₁）（1-）＞0.

可得f（x₂）＞f（x₁）.

∴函数f（x）=x+在区间（-∞，-1]上是增函数.