Question

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：

①F（x）=|f（x）|；

②函数F（x）是奇函数；

③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，

其中所有正确命题的序号是（　　）

A．

②

B．

①③

C．

②③

D．

①②

Answer 1

解答：

解：由题意得，F（x）=，

而|f（x）|=，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；

∵函数f（x）=a•2^|x|+1是偶函数，

当x＞0时，﹣x＜0，则F（﹣x）=﹣f（﹣x）=﹣f（x）=﹣F（x）；

当x＜0时，﹣x＞0，则F（﹣x）=f（﹣x）=f（x）=﹣F（x）；

故函数F（x）是奇函数，②正确；

当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，

若mn＜0，m+n＞0，总有m＞﹣n＞0，

∴F（m）＜F（﹣n），即f（m）＜﹣F（n），

∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．

故选C．