Question

有四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=（sinx+cosx）²；④y=sin²x-cos²x；其中在(0，

π

2

)上不是单调函数的是（　　）

• A、①和④
• B、②和③
• C、①和③
• D、②和④

Answer 1

分析：利用三角恒等变换公式，分别将各项中的函数化简为正弦型三角函数的形式，再根据正弦函数的单调性加以判断，可得只有①③的函数在(0，

π

2

)上不是单调函数，从而得到本题答案．

解答：解：对于①，y=sinx+cosx=

2

（sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

）=

2

sin（x+

π

4

），
∵当x∈(0，

π

2

)时，x+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)，
∴函数y=sinx+cosx在(0，

π

4

)上为增函数，在(

π

4

，

π

2

)上为减函数，
故y=sinx+cosx在(0，

π

2

)上不是单调函数；
对于②，y=sinx+cosx=

2

（sinxcos

π

4

-cosxsin

π

4

）=

2

sin（x-

π

4

），
∵当x∈(0，

π

2

)时，x-

π

4

∈(-

π

4

，

π

4

)，
∴函数y=sinx+cosx在(0，

π

2

)上为单调增函数；
对于③，y=（sinx+cosx）²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+sin2x，
∵当x∈(0，

π

2

)时，2x∈（0，π），
∴函数y=（sinx+cosx）²在(0，

π

4

)上为增函数，在(

π

4

，

π

2

)上为减函数，
故y=（sinx+cosx）²在(0，

π

2

)上不是单调函数；
对于④，y=sin²x-cos²x=-cos2x=sin（2x-

π

2

），
∵当x∈(0，

π

2

)时，2x-

π

2

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴函数y=（sinx+cosx）²在(0，

π

2

)上为单调增函数．
综上所述，只有①③的函数在(0，

π

2

)上不是单调函数．
故选：C

点评：本题给出几个三角函数表达式，求它在区间(0，

π

2

)上是否为单调函数．着重考查了三角恒等变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．