Question

已知圆C的中心在原点O，点P（2，2）、A、B都在圆C上，且 （m∈R）．
（Ⅰ）求圆C的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）当△OAB的面积取得最大值时，求直线AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²=r²，
∵点P（2，2）在圆C上，∴r²=8
∴圆C的方程为x²+y²=8
∵A、B都在圆C上，
∴A，B关于直线OP对称
∵直线OP的斜率为1
∴直线AB的斜率为-1；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+b，则圆心到直线AB的距离为d=
∴|AB|=2
∴△OAB的面积为×2×=≤=4
当且仅当，即b=±时，△OAB的面积取得最大值4
此时直线AB的方程为y=-x±．
分析：（Ⅰ）根据圆C的中心在原点O，点P（2，2）在圆C上，可求圆C的方程；利用A、B都在圆C上，，可得A，B关于直线OP对称，利用直线OP的斜率，可求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+b，求出圆心到直线AB的距离，|AB|，表示出面积，再利用基本不等式，即可求得OAB的面积取得最大值，进而可得直线AB的方程．
点评：本题考查圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查三角形的面积，同时考查基本不等式的运用，求出圆的方程，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解时关键．