Question

垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面．

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，

求证：a⊥γ．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：如下图，设α∩γ＝b，β∩γ＝c，在γ内任取一点P，作PM⊥b于M，PN⊥c于N，因为α⊥γ，β⊥γ，所以PM⊥α，PN⊥β．因为α∩β＝a，所以PM⊥a，PN⊥a．所以a⊥γ． 　　思路分析：欲证线面垂直，只需在α内找两条相交直线同时与a垂直，这就需要利用面面垂直的性质定理来构造． 　　温馨提示：(1)由面面垂直的性质定理可知：当已知两面垂直时，一般要在一个平面内作出交线的垂线，构造使用性质定理的条件． 　　(2)这道题的两种证法从两个不同角度入手解决了线面垂直的问题．证明一首先利用面面垂直的性质定理将面面垂直的条件转化为线面垂直，再利用线面垂直的定义将线面垂直转化为线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证明结论．证明二则利用线线平行解决线面垂直问题．在立体几何中，主要依靠线面关系的不断转化解决问题．由线线垂直到线面垂直，再到面面垂直；也可由面面垂直到线面垂直，再到线线垂直，以线面垂直为核心．以下是垂直和平行的转化结构图． 　　线线垂直线面垂直面面垂直 　　线线平行线面平行面面平行