Question

已知函数f(x)=loga

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性、并证明；
（Ⅲ）求使不等式f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式可得

1+x

1-x

＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，由此解得x的范围，即可得到函数f（x）的定义域．
（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），根据函数的奇偶性的定义得出结论．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，当a＞1时，由

1+x

1-x

＞1，求得不等式的解集．当1＞a＞0时，0＜

1+x

1-x

＜1，即

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

，解此不等式组求得不等式的解集，
综合可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=loga

1+x

1-x

（a＞0，且a≠1），可得

1+x

1-x

＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，当a＞1时，

1+x

1-x

＞1，即 

2x

x-1

 ＜0，解得0＜x＜1．
当1＞a＞0时，0＜

1+x

1-x

＜1，即  

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

，即

-1＜x＜1 x＞1 ，或x＜0

，解得-1＜x＜0．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x＜1}； 当1＞a＞0时，不等式的解集为{x|-1＜x＜0}．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质应用，分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．