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    如下图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝8，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．

    (1)求四棱锥P-ABCD的体积．

    (2)求证：PA⊥BD

    答案：略
    解析：

    解：(1)如图，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OE．

    根据三垂线定理的逆定理，得OE⊥AD，所以Ð PEO为侧面PAD与底面所成二面角的平面角．

    由已知条件可知Ð PEO=60°，PE＝6，所以，四棱锥P-ABCD的体积＝96．

    (2)如图，连结AO，延长AO交BD于F．通过计算可得EO＝3，．又知，AB=8，得．

    所以Rt△AEO∽Rt△BAD.

    得．

    所以＝90°.

    所以AF⊥BD.

    因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的射影，所以PA⊥BD.


    提示：

    本小题考查立体几何中体积和线线垂直问题．

    (1)通过三垂线定理作出侧面PAD与底面所在二面角的平面角，再由勾股定理，求得P到底面距离，即可求解．

    (2)证明PA⊥BD有两种方法，方法1用三垂线定理求证，方法2先建立空间直角坐标系，再由得证．本题中我们只使用方法1，方法2留待同学们考虑．


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