Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），向量

b

=（cosx，sinx），x∈R，函数f（x）=

a

•（

a

+

b

）．
（1）求函数f（x）的最大值、最小值与最小正周期；
（2）求使不等式f（x）≥

3

2

成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数量积公式求出函数f（x），然后利用三角公式进行化简，利用三角函数的性质求f（x）的最大值、最小值与最小正周期；
（2）利用三角函数的性质解不等式f（x）≥

3

2

即可．

解答：解：（1）∵向量

a

=（sinx，cosx），向量

b

=（cosx，sinx），x∈R，
∴f（x）=

a

•（

a

+

b

）=

a

2+

a

•

b

=1+2sinxcosx=1+sin2x．
∴函数f（x）的最大值为1+1=2，最小值为1-1=0，最小正周期为π； 
（2）由f（x）≥

3

2

得：1+sin2x≥

3

2

，即sin2x≥

1

2

，
即2kπ+

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

，
即kπ+

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．

点评：本题主要考查数量积的公式以及三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．