Question

已知集合S_n={X|X=(x₁，x₂，…，x_n)，x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n≥2)．对于A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)∈S_n，定义A与B的差为A-B=(|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|)；A与B之间的距离为d(A，B)=，
(1)当n=5时，设A=(0，1，0，0，1)，B=(1，1，1，0，0)，求A-B，d(A，B)；
(2)证明：A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且(A-C，B-C)=d(A，B)；
(3)证明：A，B，C∈S_n，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数．

Answer 1

解：(1)=（1，0，1，0，1），
d(A，B)=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3。
(2)证明：设，
因为，
所以，
从而，
又，
由题意知∈{0，1}（i=1，2，…n），
当c_i=0时，；
当c_i=1时，，
所以。
(3)证明：设，
d(A，B)=k，d(A，C)=l，d(B，C)=h，
记O=(0，0，…，0)∈S_n，
由(2)可知，
，
，
所以(i=1，2，…，n)中1的个数为k，
(i=1，2，…，n)中1的个数为l，
设t是使成立的i的个数，则h=l+k-2t，
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，
即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数。