Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线VA垂直于圆O所在的平面ABC，VB与平面
ABC成30°的角，D，E分别是线段VB，VC的中点。

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：平面VAC⊥平面VBC；
（3）当点C平分弧AB时，求二面角A-VB-C的正切值。

Answer 1

（1）证明：∵D、E分别是线段VB、VC的中点，
∴DE∥BC，
平面ABC，平面ABC，
∴DE∥平面ABC。
（2）证明：∵VA⊥平面ABC，
∴，
∵AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，
∴，
∴，
∵，
∴BC⊥平面VAC，
又∵平面VBC，
∴平面VAC⊥平面VBC。
（3）解：当点C平分弧AB时，OC⊥AB，
又∵OC⊥VA，
∴OC⊥平面VAB，，
过点O作OF⊥VB于点F，连接CF，则VB⊥平面COF，

∴CF⊥VB，故∠CFO是二面角A-VB-C的平面角，
由VA⊥平面ABC知，VB与平面ABC所成的角为∠VBA，
∴∠VBA=30°，
在Rt△BOF中，，
在Rt△COF中，，
∴二面角A-VB-C的正切值为2。