Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明PA∥平面EDB；

(2)证明PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小.

Answer 1

(1)证明:连结AC交BD于O，连结EO.

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点.

在△PAC中，EO是中位线,

∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

(2)证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC.

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC.                                            ①

同样，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC，∴BC⊥DE.                 ②

由①和②推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD.

(3)解：由(2)知PB⊥DF，故∠EFD是二面角CPBD的平面角.由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a,BD=,

PB=，

，DE=PC=.

在Rt△PDB中，

DF=.

在Rt△EFD中，

sin∠EFD=,

∴∠EFD=.

∴二面角C-PB-D的平面角为.