Question

已知离心率为

2

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F是圆（x-1）²+y²=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．
（II）P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x₀的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x₀和y₀的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记f(x)=2-

4

(x-2)2

，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当x0=-

2

时，|MN|取得最大值，进而求得y₀，则P点坐标可得．

解答：解：（I）∵圆（x-1）²+y²=1的圆心是（1，0），
∴椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F（1，0），
∵椭圆的离心率是

2

2

，∴

c

a

=

2

2

∴a²=2，b²=1，∴椭圆的方程是

x2

2

+y2=1．

（II）设P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n），
由

x2 2 +y2=1 (x-1)2+y2=1

得x=2-

2

，∴x0∈[-

2

，0)∪(0，2-

2

)．
直线PM的方程：y-m=

y0-m

x0

x，
化简得（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0．
又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，
∴

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+ x 2 0

=1，
∴（y₀-m）²+x₀²=（y₀-m）²+2x₀m（y₀-m）+x₀²m²，
化简得（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，
同理有（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0．
∴m+n=

-2y0

x0-2

，mn=

-x0

x0-2

，
∴|MN|=|m-n|=

(m-n)2

=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0 (x0-2)2

．
∵P（x₀，y₀）是椭圆上的点，∴

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，
∴|MN|=

2 x 2 0 -8x0+4 (x0-2)2

=

2(x0-2)2-4 (x0-2)2

=

2- 4 (x0-2)2

，
记f(x)=2-

4

(x-2)2

，则f′(x)=

8

(x-2)3

，x ∈[-

2

，0)时，
f'（x）＜0；x∈(0，2-

2

)时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[-

2

，0)上单调递减，在(0，2-

2

)内也是单调递减，
∴f(x)∈(0，1)∪(1，2

2 -1

]，
当x0=-

2

时，|MN|取得最大值2

2 -1

，
此时点P位置是椭圆的左顶点(-

2

，0)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．