Question

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)在集合M＝{m|m＝2k，k∈Z，且1000≤k＜1500中，是否存在正整数m，使得不等式对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；

(3)请构造一个与数列{S_n}有关的数列{u_n}，使得存在，并求出这个极限值．

Answer 1

答案：
解析：

于是，　　(2分) 　　因为 　　所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列　　(3分) 　　所以{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)　　(4分) 　　(2)设存在满足条件的正整数m，则 　　n＞2010　　(6分) 　　又M＝{2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}， 　　所以m＝2010，2012，…，2998均满足条件， 　　它们组成首项为2010，公差为2的等差数列　　(8分) 　　设共有k个满足条件的正整数，则2010＋2(k－1)＝2998，解得k＝495　　(10分) 　　所以，M中满足条件的正整数m存在，共有495个，m的最小值为2010　　(12分) 　　(3)设　　(15分)， 　　则 　　，其极限存在，且 　　　　(18分) 　　注：为非零常数)， 　　)等都能使存在． 　　按学生给出的答案酌情给分，写出数列{un}正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．